【极限定义证明例题详解】在高等数学中，极限是微积分的核心概念之一。而“极限的定义”则是理解整个极限理论的基础。对于很多初学者来说，极限的严格定义（即ε-δ定义）往往显得抽象、难以理解。本文将通过几个典型的例题，详细讲解如何使用极限的定义进行证明，帮助读者逐步掌握这一重要的数学工具。

一、极限定义的基本概念

极限的定义如下：

设函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 的某个去心邻域内有定义，若对任意给定的正数 $ \varepsilon > 0 $，总存在一个正数 $ \delta > 0 $，使得当 $ 0 < x - x_0 < \delta $ 时，有

$$

$$

则称 $ L $ 是 $ f(x) $ 当 $ x \to x_0 $ 时的极限，记作

$$

\lim_{x \to x_0} f(x) = L

$$

这个定义虽然形式上严谨，但实际应用中需要根据具体函数构造合适的 $ \delta $，以满足不等式条件。

二、典型例题解析

例1：证明 $\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7$

分析：

我们希望证明当 $ x \to 2 $ 时，$ 3x + 1 $ 趋近于 7。

步骤：

1. 设 $ \varepsilon > 0 $，要求找到 $ \delta > 0 $，使得当 $ 0 < x - 2 < \delta $ 时，有

$$

(3x + 1) - 7 < \varepsilon

$$

2. 化简左边：

$$

3x + 1 - 7 = 3x - 6 = 3x - 2

$$

3. 所以不等式变为：

$$

3x - 2 < \varepsilon \Rightarrow x - 2 < \frac{\varepsilon}{3}

$$

4. 因此，取 $ \delta = \frac{\varepsilon}{3} $，即可满足条件。

结论：

$$

\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7

$$

例2：证明 $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$

分析：

我们希望证明当 $ x \to 0 $ 时，$ x^2 $ 趋近于 0。

步骤：

1. 设 $ \varepsilon > 0 $，要求找到 $ \delta > 0 $，使得当 $ 0 < x - 0 < \delta $ 时，有

$$

x^2 - 0 < \varepsilon

$$

2. 即：

$$

x^2 < \varepsilon \Rightarrow x < \sqrt{\varepsilon}

$$

3. 所以取 $ \delta = \sqrt{\varepsilon} $，当 $ x < \delta $ 时，就有 $ x^2 < \varepsilon $。

结论：

$$

\lim_{x \to 0} x^2 = 0

$$

例3：证明 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$

分析：

注意该函数在 $ x = 1 $ 处未定义，但我们可以化简表达式：

$$

\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \quad (x \neq 1)

$$

因此，当 $ x \to 1 $ 时，原式趋近于 $ 1 + 1 = 2 $。

步骤：

1. 设 $ \varepsilon > 0 $，要使

$$

\left\frac{x^2 - 1}{x - 1} - 2\right < \varepsilon

$$

2. 化简左边：

$$

x + 1 - 2 = x - 1

$$

3. 所以只要 $ x - 1 < \varepsilon $，就能满足不等式。

4. 取 $ \delta = \varepsilon $，即可完成证明。

结论：

$$

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2

$$

三、总结与建议

通过上述三个例子可以看出，极限的定义证明过程主要分为以下几个步骤：

1. 明确目标函数和极限值；

2. 写出不等式表达式；

3. 通过代数变形，将不等式转化为关于 $ x - x_0 $ 的形式；

4. 选择合适的 $ \delta $，使其满足条件；

5. 验证所选 $ \delta $ 是否合理。

在实际操作中，可能需要结合一些技巧，如限制 $ x $ 的范围（例如先假设 $ x - x_0 < 1 $），从而简化不等式的处理。此外，熟悉常见函数的极限性质也有助于快速判断和构造 $ \delta $。

结语：

极限的定义证明虽然看起来繁琐，但它是深入理解微积分理论的关键一步。通过反复练习和思考，同学们可以逐渐掌握这种严格的逻辑推理方式，为后续学习导数、积分等知识打下坚实基础。