【极限常用的9个公式】在数学学习中，尤其是高等数学和微积分的入门阶段，极限是一个非常重要的概念。它不仅是导数、积分等后续内容的基础，也是理解函数变化趋势的关键工具。掌握一些常用的极限公式，对于解题和深入理解数学原理有着极大的帮助。
以下是我们整理出的极限常用的9个公式，涵盖了常见的类型和应用场景，适合学生复习或教师备课使用。
1. 基本极限公式
$$
\lim_{x \to a} x = a
$$
这是最基础的极限，表示当 $x$ 趋近于某个常数 $a$ 时，其极限值就是该常数本身。
2. 常数极限
$$
\lim_{x \to a} C = C \quad (C \text{ 为常数})
$$
无论 $x$ 如何变化，只要是一个常数，它的极限始终是它自己。
3. 多项式函数极限
$$
\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
$$
如果 $f(x)$ 是一个多项式函数，那么在 $x \to a$ 的过程中，极限可以直接代入计算。
4. 无穷小与无穷大的关系
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \text{ 不存在}
$$
当 $x$ 趋近于0时，$\frac{1}{x}$ 的极限取决于从哪边趋近，而 $\frac{1}{x^2}$ 则趋于正无穷。
5. 三角函数极限（重要）
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$
这是微积分中最经典的极限之一，常用于处理三角函数相关的极限问题。
6. 指数函数极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1
$$
这个公式在求导数或泰勒展开时经常用到，是指数函数的重要性质之一。
7. 对数函数极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1
$$
对数函数在 $x \to 0$ 时的极限形式，常用于分析对数函数的变化率。
8. 有理函数极限（分子分母同阶）
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{ax^n + bx^{n-1} + \cdots}{cx^n + dx^{n-1} + \cdots} = \frac{a}{c}
$$
当分子和分母的最高次幂相同时，极限等于首项系数之比。
9. 无穷大与无穷小的比较
$$
\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin x} = 0
$$
在 $x \to 0$ 时，$x^2$ 比 $\sin x$ 更快趋向于0，因此它们的比值趋于0。
总结
以上九个公式是极限运算中最为常见和实用的工具，掌握这些公式不仅可以提高解题效率，还能加深对极限概念的理解。在实际应用中，往往需要结合洛必达法则、泰勒展开、夹逼定理等多种方法进行综合判断。
建议在学习过程中多做练习题，灵活运用这些公式，逐步建立起对极限问题的直觉和解决能力。
