【设{an}是公比q】在数学中，等比数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数被称为“公比”。通常用符号q表示。设{an}是一个等比数列，且其公比为q，那么该数列的通项公式可以表示为：

$$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $$

其中，a₁是数列的第一项，n是项数，q是公比。

一、等比数列的基本性质

1. 递推关系

等比数列满足如下递推公式：

$$ a_{n+1} = a_n \cdot q $$

这说明每一项都是前一项乘以公比q的结果。

2. 前n项和公式

若等比数列的首项为a₁，公比为q（q ≠ 1），则前n项和Sₙ的表达式为：

$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $$

如果q = 1，则所有项都相等，此时前n项和为：

$$ S_n = n \cdot a_1 $$

3. 无限等比数列的和

当q < 1时，无穷等比数列的和存在，其极限值为：

$$ S = \frac{a_1}{1 - q} $$

二、应用实例

假设有一个等比数列{an}，已知a₁ = 2，公比q = 3，求第5项和前5项的和。

- 第5项：

$$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $$

- 前5项和：

$$ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242 $$

三、常见误区与注意事项

- 公比不能为0：如果q = 0，则从第二项开始所有项都为0，这样的数列不具有实际意义。

- 注意q ≠ 1：当q = 1时，数列变为常数列，前n项和公式需要单独处理。

- 负数公比的情况：若q为负数，数列中的项会交替正负，如q = -2，数列为：a₁, -2a₁, 4a₁, -8a₁, ...

四、总结

设{an}是公比为q的等比数列，是数列研究中的基础内容之一。理解其通项公式、前n项和以及无限项和的计算方法，有助于解决许多实际问题，例如复利计算、人口增长模型、信号衰减分析等。

掌握这些基本概念和公式，不仅能够提升数学解题能力，还能为后续学习更复杂的数列与级数打下坚实的基础。