【求函数的值域并分析其单调性.】在数学中，函数的值域与单调性是研究函数性质的重要方面。通过分析一个函数的值域，我们可以了解它在整个定义域内的取值范围；而分析其单调性，则有助于我们理解函数的变化趋势，从而在实际问题中做出更准确的判断和应用。
一、函数的基本信息
设给定函数为：
$$
f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}
$$
该函数是一个分式函数，其定义域为 $ x \neq 3 $，因为当 $ x = 3 $ 时，分母为零，函数无意义。
二、求函数的值域
要确定函数的值域，通常需要考虑函数的极限行为以及可能的极值点。
1. 分析函数的渐近行为
首先，观察函数在 $ x \to 3^+ $ 和 $ x \to 3^- $ 时的行为：
- 当 $ x \to 3^+ $（从右侧趋近于3），分母趋于0正，分子为 $ 2x + 1 \approx 7 $，因此 $ f(x) \to +\infty $。
- 当 $ x \to 3^- $（从左侧趋近于3），分母趋于0负，因此 $ f(x) \to -\infty $。
这表明函数在 $ x = 3 $ 处存在垂直渐近线。
2. 求水平渐近线
当 $ x \to \pm\infty $ 时，可以比较分子和分母的最高次项：
$$
f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3} \approx \frac{2x}{x} = 2
$$
因此，函数在 $ x \to \pm\infty $ 时趋近于2，即水平渐近线为 $ y = 2 $。
3. 探究是否能取到2
我们可以通过解方程 $ f(x) = 2 $ 来判断是否可以取到这个值：
$$
\frac{2x + 1}{x - 3} = 2 \Rightarrow 2x + 1 = 2(x - 3) \Rightarrow 2x + 1 = 2x - 6 \Rightarrow 1 = -6
$$
显然这是不可能的，因此函数 不能取到2。
4. 综合以上分析
综上所述，函数的值域为：
$$
(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)
$$
三、分析函数的单调性
为了分析函数的单调性，我们需要计算其导数，并判断导数的符号。
1. 求导
对函数 $ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3} $ 求导：
使用商法则：
$$
f'(x) = \frac{(2)(x - 3) - (2x + 1)(1)}{(x - 3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x - 3)^2} = \frac{-7}{(x - 3)^2}
$$
2. 判断导数符号
由于分母 $ (x - 3)^2 > 0 $ 对所有 $ x \neq 3 $ 成立，而分子为 -7，恒为负数，因此：
$$
f'(x) < 0 \quad \text{对于所有 } x \neq 3
$$
3. 单调性结论
因此，函数在其定义域内是 严格递减 的。但由于函数在 $ x = 3 $ 处不连续，所以其单调性应分段讨论：
- 在区间 $ (-\infty, 3) $ 上，函数是严格递减的；
- 在区间 $ (3, +\infty) $ 上，函数也是严格递减的。
四、总结
通过对函数 $ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3} $ 的分析，我们得出以下结论：
- 值域：$ (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) $
- 单调性：在定义域的两个区间内均为严格递减函数
这种分析方法不仅适用于本题中的函数，也可以推广到其他类型的函数中，帮助我们更深入地理解函数的图像和特性。
