【期望方差公式总结】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量基本特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均值，而方差则衡量了其取值围绕期望的离散程度。掌握这些公式的推导与应用，对于理解随机现象、进行数据分析以及解决实际问题具有重要意义。
一、期望的定义与计算
期望（Expectation）是随机变量在大量重复实验中取值的平均趋势。对于离散型随机变量 $ X $，其期望 $ E(X) $ 定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$
其中，$ x_i $ 是随机变量的可能取值，$ P(X = x_i) $ 是对应的概率。
对于连续型随机变量 $ X $，其期望定义为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中，$ f(x) $ 是概率密度函数。
二、方差的定义与计算
方差（Variance）用于度量随机变量与其期望之间的偏离程度。方差的计算公式为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以通过展开公式简化为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
该公式便于实际计算，尤其在处理复杂分布时更为实用。
1. 离散型随机变量的方差
对于离散型随机变量 $ X $，方差为：
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot P(X = x_i)
$$
2. 连续型随机变量的方差
对于连续型随机变量 $ X $，方差为：
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx
$$
三、常见分布的期望与方差
不同概率分布的期望与方差有固定的表达式，以下列举几种常见的分布及其公式：
| 分布名称 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布（参数 $ p $） | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布（参数 $ n, p $） | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布（参数 $ \lambda $） | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布（区间 $ [a, b] $） | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布（参数 $ \mu, \sigma^2 $） | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
四、协方差与相关系数
在多维随机变量分析中，协方差和相关系数也是重要的概念。协方差用于衡量两个随机变量之间的线性关系：
$$
\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))
$$
相关系数则为：
$$
\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}}
$$
五、期望与方差的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 方差的线性变换：
$$
\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)
$$
3. 独立性与方差：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则：
$$
\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)
$$
4. 期望的可加性：
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
六、应用场景
期望与方差广泛应用于金融、保险、工程、计算机科学等多个领域。例如，在投资组合管理中，期望用于评估收益，方差用于衡量风险；在机器学习中，模型的预测误差通常用均方误差（MSE）来表示，这本质上是方差与偏差的结合。
综上所述，期望与方差是概率统计中的基础工具，理解它们的定义、公式及性质，有助于更好地分析和建模现实世界中的不确定性问题。掌握这些知识不仅能够提升数学素养，也能增强实际问题的解决能力。
