【能级跃迁所有公式推导】在量子力学中，能级跃迁是描述原子或分子内部电子在不同能量状态之间转移的过程。这种跃迁通常伴随着光子的吸收或发射，是理解原子光谱、激光原理以及现代通信技术的基础。本文将系统地推导与能级跃迁相关的所有关键公式，帮助读者深入理解其背后的物理机制。

一、能级跃迁的基本概念

在原子结构中，电子的能量是量子化的，即只能处于某些特定的离散能级上。这些能级之间的差异决定了电子跃迁时所吸收或释放的光子能量。根据玻尔模型和薛定谔方程，我们可以得到一系列关于能级跃迁的重要公式。

二、氢原子的能级公式（玻尔模型）

氢原子是最简单的原子模型，其能级公式为：

$$

E_n = -\frac{13.6 \, \text{eV}}{n^2}

$$

其中：

- $ E_n $ 是第 $ n $ 个能级的能量；

- $ n $ 是主量子数，$ n = 1, 2, 3, \ldots $

该公式来源于玻尔模型对氢原子的近似处理，适用于单电子原子。

三、能级跃迁时的光子能量

当电子从高能级 $ E_m $ 跃迁到低能级 $ E_n $ 时，会释放出一个光子，其能量为两能级之差：

$$

\Delta E = E_m - E_n

$$

根据普朗克关系，光子的能量与频率 $ f $ 的关系为：

$$

\Delta E = h f

$$

因此，可得：

$$

f = \frac{E_m - E_n}{h}

$$

同样，若电子吸收光子，则其能量变化为：

$$

\Delta E = E_n - E_m = h f

$$

四、波长与频率的关系

光子的波长 $ \lambda $ 与其频率 $ f $ 满足：

$$

c = \lambda f

$$

其中 $ c $ 是光速（约 $ 3 \times 10^8 \, \text{m/s} $）。结合前面的公式，可以得到：

$$

\lambda = \frac{c (E_m - E_n)}{h}

$$

或者用氢原子能级表达式代入：

$$

\lambda = \frac{c h}{13.6 \, \text{eV} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right)}

$$

五、跃迁概率与选择定则

在量子力学中，跃迁是否发生还受到选择定则的限制。对于氢原子中的跃迁，常见的选择定则是：

$$

\Delta l = \pm 1

$$

其中 $ l $ 是角动量量子数。这意味着电子只能在角动量变化为 ±1 的情况下跃迁，这解释了为何某些光谱线不会出现。

此外，跃迁的概率还与偶极矩矩阵元有关，可用费曼规则或微扰理论进行计算。

六、自发辐射与受激辐射

在量子光学中，跃迁分为两种类型：自发辐射 和 受激辐射。

- 自发辐射：无外界刺激下，电子从高能级跃迁至低能级，发射光子。

- 受激辐射：在外部电磁场作用下，电子被激发跃迁，产生与入射光子相同的光子。

两者对应的速率公式分别为：

自发辐射速率：

$$

A_{mn} = \frac{\omega^3}{3\pi \varepsilon_0 \hbar c^3} \langle m \mathbf{r} n \rangle ^2

$$

受激辐射速率：

$$

B_{mn} = \frac{\omega^3}{3\pi \varepsilon_0 \hbar c^3} \langle m \mathbf{r} n \rangle ^2

$$

其中 $ \omega $ 是跃迁频率，$ \mathbf{r} $ 是位置算符。

七、跃迁时间与寿命

电子在某一能级上的平均停留时间称为跃迁寿命，记作 $ \tau $，它与跃迁速率 $ A $ 成反比：

$$

\tau = \frac{1}{A}

$$

这表明跃迁速率越高，电子在该能级的寿命越短。

八、应用实例：氢原子的巴尔末系

以氢原子的巴尔末系为例，当电子从 $ n = 3, 4, 5, \ldots $ 跃迁至 $ n = 2 $ 时，产生的光谱线属于可见光范围。利用上述公式，可以精确计算出每条光谱线的波长和频率。

例如，从 $ n=3 $ 到 $ n=2 $ 的跃迁：

$$

\lambda = \frac{hc}{13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)} = \frac{12400 \, \text{eV·nm}}{13.6 \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)} \approx 656 \, \text{nm}

$$

这正是氢原子的红色 Hα 线。

九、总结

能级跃迁是量子力学中最基本的现象之一，其数学描述涵盖了多个重要公式，包括能级能量、光子能量、波长、跃迁概率、辐射速率等。通过对这些公式的推导与分析，我们能够更好地理解原子光谱、激光原理以及现代物理中的许多现象。

通过掌握这些公式，不仅有助于学习量子力学的基础知识，也为进一步研究原子物理、光谱学和量子光学打下坚实基础。