$$

展开并整理后，可得一个一次方程，即为公共弦所在直线的方程。该方程形式为：

$$

Ax + By + C = 0

$$

其中 A、B、C 是由两圆的圆心坐标与半径决定的常数。

三、公共弦的长度计算

若已知两圆的圆心坐标分别为 $ O_1(a, b) $ 和 $ O_2(c, d) $，半径分别为 $ r_1 $ 和 $ r_2 $，则两圆之间的距离为：

$$

d = \sqrt{(a - c)^2 + (b - d)^2}

$$

根据几何原理，公共弦的长度 $ L $ 可以通过以下公式计算：

$$

L = 2 \sqrt{r_1^2 - \left( \frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2d} \right)^2 }

$$

这个公式来源于对三角形的分析，其中 $ \frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2d} $ 表示从圆心到公共弦的距离。

四、应用实例

假设圆 $ C_1 $ 的圆心为 $ (1, 2) $，半径为 3；圆 $ C_2 $ 的圆心为 $ (4, 6) $，半径为 5。

首先计算两圆之间的距离：

$$

d = \sqrt{(1 - 4)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

$$

代入公共弦长度公式：

$$

L = 2 \sqrt{3^2 - \left( \frac{5^2 + 3^2 - 5^2}{2 \times 5} \right)^2 } = 2 \sqrt{9 - \left( \frac{9}{10} \right)^2 } = 2 \sqrt{9 - 0.81} = 2 \sqrt{8.19} \approx 2 \times 2.86 = 5.72

$$

因此，这两圆的公共弦长度约为 5.72 单位。

五、总结

公共弦是两个相交圆之间的重要几何特征，其方程可以通过两个圆的方程相减得到，而长度则可以通过圆心距和半径来计算。掌握这些公式不仅可以帮助我们解决几何问题，还能在工程、物理等领域中发挥重要作用。

理解并熟练运用“两圆相交公共弦公式”，有助于提升我们在解析几何中的分析能力，是学习几何知识的重要一步。