【傅里叶变换所有公式】傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的重要数学工具，在信号处理、图像分析、通信工程、物理等多个领域中有着广泛的应用。它能够揭示一个复杂信号中所包含的频率成分，从而帮助我们更深入地理解信号的本质。
本文将系统地整理和介绍傅里叶变换的相关公式，涵盖连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）以及快速傅里叶变换（FFT）等主要形式，帮助读者全面掌握这一重要数学方法。
一、连续时间傅里叶变换（CTFT）
对于一个连续时间信号 $ x(t) $，其傅里叶变换定义为：
$$
X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi f t} dt
$$
其中：
- $ X(f) $ 是频域表示；
- $ x(t) $ 是时域信号；
- $ j $ 是虚数单位；
- $ f $ 是频率变量。
而傅里叶逆变换则为：
$$
x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi f t} df
$$
在一些教材中，也会使用角频率 $ \omega = 2\pi f $ 的形式进行表达，此时傅里叶变换公式变为：
$$
X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt
$$
对应的逆变换为：
$$
x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{j\omega t} d\omega
$$
二、离散时间傅里叶变换（DTFT）
对于一个离散时间信号 $ x[n] $，其离散时间傅里叶变换（DTFT）定义为：
$$
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n}
$$
其中：
- $ \omega $ 是归一化角频率；
- $ x[n] $ 是离散时间序列。
其逆变换为：
$$
x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega
$$
三、离散傅里叶变换（DFT）
当信号是有限长的离散序列时，通常采用离散傅里叶变换（DFT）进行分析。设 $ x[n] $ 是长度为 $ N $ 的序列，则其 DFT 定义为：
$$
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi kn/N}, \quad k = 0, 1, ..., N-1
$$
对应的逆变换为：
$$
x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j2\pi kn/N}, \quad n = 0, 1, ..., N-1
$$
DFT 是数字信号处理中最常用的变换之一，常用于谱分析、滤波器设计等。
四、快速傅里叶变换（FFT）
快速傅里叶变换（FFT）是 DFT 的高效计算算法，通过利用对称性和周期性减少计算量，使得原本 $ O(N^2) $ 复杂度的 DFT 变为 $ O(N \log N) $。虽然 FFT 不是一个新的变换，但它极大地提升了 DFT 的实际应用价值。
FFT 的基本思想是将 DFT 分解为多个较小的 DFT 运算，例如基于分治法的基-2 FFT 算法。
五、傅里叶变换的性质与定理
为了更好地理解和应用傅里叶变换，了解其一些基本性质非常重要，包括：
- 线性性：$ \mathcal{F}\{a x(t) + b y(t)\} = a X(f) + b Y(f) $
- 时移特性：$ \mathcal{F}\{x(t - t_0)\} = X(f) e^{-j2\pi f t_0} $
- 频移特性：$ \mathcal{F}\{x(t) e^{j2\pi f_0 t}\} = X(f - f_0) $
- 卷积定理：$ \mathcal{F}\{x(t) y(t)\} = X(f) Y(f) $
- 微分性质：$ \mathcal{F}\{ \frac{dx(t)}{dt} \} = j2\pi f X(f) $
这些性质在信号分析和系统设计中具有重要意义。
六、傅里叶变换的常见函数对
以下是一些常见的傅里叶变换对，有助于快速查阅和应用：
| 时域信号 $ x(t) $ | 频域信号 $ X(f) $ |
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ |
| $ 1 $ | $ \delta(f) $ |
| $ e^{-at} u(t) $ | $ \frac{1}{a + j2\pi f} $ |
| $ \cos(2\pi f_0 t) $ | $ \frac{1}{2} [\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)] $ |
| $ \text{sinc}(t) $ | $ \text{rect}(f) $ |
七、总结
傅里叶变换是连接时域与频域的桥梁，通过对信号进行频域分析，可以提取出丰富的信息。无论是连续还是离散信号，都有相应的傅里叶变换形式。随着计算机技术的发展，DFT 和 FFT 成为了现代信号处理的核心工具。
掌握傅里叶变换的公式及其性质，不仅有助于理论学习，也对实际工程问题的解决具有重要的指导意义。
如需进一步了解傅里叶变换在具体应用场景中的使用，欢迎继续探讨！
