【空间直角坐标系常用公式】在三维几何中，空间直角坐标系是一个重要的数学工具，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等多个领域。它通过三个相互垂直的坐标轴（x轴、y轴、z轴）来表示空间中的点和向量，使得我们能够更直观地分析和计算三维空间中的各种几何关系。

以下是一些在空间直角坐标系中常用的公式与概念，有助于理解和应用这一坐标体系。

一、点的坐标表示

在空间直角坐标系中，任意一点 P 可以用一个有序三元组 (x, y, z) 来表示，其中 x、y、z 分别是该点在 x 轴、y 轴、z 轴上的投影坐标。

- 原点 O 的坐标为 (0, 0, 0)

- 点 P 在 x 轴上时，其坐标为 (x, 0, 0)

- 点 Q 在 y 轴上时，其坐标为 (0, y, 0)

- 点 R 在 z 轴上时，其坐标为 (0, 0, z)

二、两点之间的距离公式

设空间中两点 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂)，则它们之间的距离 d 为：

$$

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

$$

这个公式是二维平面中两点距离公式的扩展，适用于三维空间。

三、向量的表示与运算

1. 向量的表示

从点 A(x₁, y₁, z₁) 到点 B(x₂, y₂, z₂) 的向量 AB 可以表示为：

$$

\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)

$$

2. 向量的模长

向量 $\vec{v} = (a, b, c)$ 的模长（即长度）为：

$$

$$

3. 向量的加法与减法

若 $\vec{u} = (a, b, c)$，$\vec{v} = (d, e, f)$，则：

- $\vec{u} + \vec{v} = (a+d, b+e, c+f)$

- $\vec{u} - \vec{v} = (a-d, b-e, c-f)$

4. 向量的点积（内积）

$$

\vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot d + b \cdot e + c \cdot f

$$

点积的结果是一个标量，常用于计算两个向量之间的夹角或投影。

5. 向量的叉积（外积）

$$

\vec{u} \times \vec{v} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a & b & c \\

d & e & f \\

\end{vmatrix}

= (b f - c e)\mathbf{i} - (a f - c d)\mathbf{j} + (a e - b d)\mathbf{k}

$$

叉积的结果是一个向量，其方向垂直于原两个向量所在的平面，大小等于这两个向量构成的平行四边形面积。

四、平面方程

在空间直角坐标系中，平面的一般方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

其中 A、B、C 是平面的法向量分量，D 是常数项。

如果已知平面上的一个点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 和法向量 $\vec{n} = (A, B, C)$，则平面方程可表示为：

$$

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

$$

五、直线方程

空间中的直线可以用点向式或参数式表示。

1. 点向式

已知直线上一点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 和方向向量 $\vec{v} = (a, b, c)$，则直线的点向式为：

$$

\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}

$$

2. 参数式

令 t 为参数，则直线的参数式为：

$$

x = x_0 + at,\quad y = y_0 + bt,\quad z = z_0 + ct

$$

六、点到平面的距离

给定点 P(x₀, y₀, z₀) 和平面 Ax + By + Cz + D = 0，则点 P 到该平面的距离为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

七、点到直线的距离

设点 P(x₀, y₀, z₀) 到直线 L 的距离为 d，直线 L 上有一点 A(x₁, y₁, z₁)，方向向量为 $\vec{v} = (a, b, c)$，则点 P 到直线 L 的距离公式为：

$$

d = \frac{\vec{AP} \times \vec{v}}{\vec{v}}

$$

其中 $\vec{AP}$ 是从 A 到 P 的向量。

总结

空间直角坐标系为我们提供了一种系统化的工具来描述三维空间中的几何对象，包括点、线、面以及向量等。掌握这些常用公式不仅有助于理解空间结构，也为后续学习立体几何、解析几何、向量分析等内容打下坚实基础。在实际应用中，如三维建模、导航系统、物理仿真等领域，这些公式具有重要的参考价值。