【华里士公式的推导】在数学的发展历程中，许多公式和定理的提出都源于对实际问题的深入思考与严谨的逻辑推理。其中，“华里士公式”（Wallis Formula）便是微积分领域中一个重要的结果，广泛应用于无穷乘积、级数分析以及概率论等多个数学分支。本文将从基本概念出发，逐步推导出华里士公式，并探讨其背后的数学思想。

一、背景介绍

“华里士公式”是由17世纪英国数学家约翰·华里士（John Wallis）提出的，主要用于计算圆周率 π 的近似值。该公式以无限乘积的形式表达，形式如下：

$$

\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4n^2}{4n^2 - 1} \right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots

$$

这个公式虽然看似简单，但其背后蕴含着深厚的数学原理，尤其是与三角函数积分之间的关系密切。

二、推导思路

为了推导华里士公式，我们可以从一个经典的积分入手：

$$

I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx

$$

这个积分被称为“正弦幂积分”，对于不同的 n 值，可以得到一系列递推关系式。我们可以通过递推法来推导出 I_n 的表达式，进而引出华里士公式。

1. 递推关系的建立

利用分部积分法，设：

$$

I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx

$$

令 u = sin^{n-1}x，dv = sinx dx，则 du = (n-1) sin^{n-2}x cosx dx，v = -cosx。

应用分部积分公式：

$$

I_n = -\sin^{n-1}x \cos x \Big_0^{\frac{\pi}{2}} + (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}x \cos^2 x \, dx

$$

注意到边界项为 0，因此：

$$

I_n = (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}x (1 - \sin^2x) \, dx = (n-1)(I_{n-2} - I_n)

$$

移项得：

$$

I_n + (n-1)I_n = (n-1)I_{n-2}

\Rightarrow I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}

$$

这就是著名的递推公式。

2. 特殊值的计算

我们可以根据递推公式分别计算奇数次幂和偶数次幂的积分：

- 当 n 为偶数时，例如 n = 2k：

$$

I_{2k} = \frac{2k - 1}{2k} \cdot \frac{2k - 3}{2k - 2} \cdots \frac{1}{2} \cdot I_0

$$

而 $ I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} dx = \frac{\pi}{2} $

- 当 n 为奇数时，例如 n = 2k + 1：

$$

I_{2k+1} = \frac{2k}{2k + 1} \cdot \frac{2k - 2}{2k - 1} \cdots \frac{2}{3} \cdot I_1

$$

而 $ I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = 1 $

3. 推导华里士公式

考虑比值：

$$

\frac{I_{2k}}{I_{2k+1}} = \frac{(2k - 1)!!}{(2k)!!} \cdot \frac{(2k + 1)!!}{(2k)!!} \cdot \frac{\pi}{2}

$$

经过化简可得：

$$

\frac{I_{2k}}{I_{2k+1}} = \frac{\pi}{2} \cdot \left( \frac{(2k)!}{(2^k k!)^2} \right)^2

$$

当 k 趋于无穷时，利用斯特林公式（Stirling's formula），可以进一步推导出：

$$

\lim_{k \to \infty} \frac{I_{2k}}{I_{2k+1}} = \frac{\pi}{2}

$$

从而得出：

$$

\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4n^2}{4n^2 - 1} \right)

$$

三、总结

通过从正弦幂积分入手，结合递推关系与极限分析，我们成功地推导出了华里士公式。这一公式不仅揭示了圆周率与无穷乘积之间的深刻联系，也为后续的数学研究提供了重要的工具和方法。

华里士公式的发现，体现了数学之美——简洁的表达背后隐藏着丰富的数学内涵。它不仅是微积分的重要成果之一，更是连接解析数论与分析学的桥梁之一。

如需进一步探讨华里士公式在现代数学中的应用或与其他数学公式的关联，欢迎继续交流。