【等比数列的定义和通项公式】在数学中，数列是一种按一定顺序排列的数的集合。其中，等比数列是一种重要的数列类型，其特点是每一项与前一项之间的比值是固定的。理解等比数列的定义和通项公式，有助于我们更好地分析和解决相关问题。
一、等比数列的定义
等比数列（Geometric Sequence）是指从第二项开始，每一项与它前面一项的比值是一个常数的数列。这个常数称为公比，通常用字母 q 表示。
例如：
数列 2, 6, 18, 54, 162,… 是一个等比数列，因为每一项与前一项的比值都是 3。
二、等比数列的通项公式
等比数列的第 n 项可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $ 表示第 n 项；
- $ a_1 $ 表示首项；
- $ q $ 表示公比；
- $ n $ 表示项数。
三、常见性质
1. 公比的正负性：
- 若 $ q > 1 $，数列为递增数列；
- 若 $ 0 < q < 1 $，数列为递减数列；
- 若 $ q = 1 $，数列为常数列；
- 若 $ q < 0 $，数列为摆动数列（符号交替变化）。
2. 等比中项：
在三个连续的等比数列中，中间的项为两边的等比中项，即：
$$
b^2 = a \cdot c
$$
3. 求和公式（有限项）：
当 $ q \neq 1 $ 时，前 n 项和为：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
$$
四、总结对比表格
| 项目 | 内容 |
| 数列类型 | 等比数列（Geometric Sequence） |
| 定义 | 每一项与前一项的比值为常数（公比 q） |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ |
| 公比 | $ q = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $ |
| 首项 | $ a_1 $ |
| 项数 | n |
| 通项计算 | 已知首项和公比可求任意项 |
| 公比正负影响 | 正数：递增或递减；负数：符号交替 |
| 常数列 | 当 $ q = 1 $ 时，所有项相等 |
| 摆动数列 | 当 $ q < 0 $ 时，数列项符号交替 |
通过以上内容，我们可以清晰地掌握等比数列的基本概念、通项公式以及相关的性质。理解这些内容对于进一步学习数列的求和、应用题解法等具有重要意义。
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