【分子有理化的步骤及例题】在数学中，尤其是在代数运算中，常常会遇到含有根号的表达式。为了简化计算或便于进一步处理，我们通常需要对这些表达式进行“有理化”操作。其中，“分子有理化”是指将分母中含有根号的表达式通过乘以适当的共轭项，使得分母中的根号被消除的过程。
一、分子有理化的步骤
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定分母中含有根号的表达式。例如：$\frac{a}{\sqrt{b}}$ 或 $\frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$ |
| 2 | 找到合适的共轭表达式。如果分母是单个根号，则共轭为该根号本身；如果是两个根号相加或相减，则共轭为另一形式（如$\sqrt{b} - \sqrt{c}$） |
| 3 | 将原式分子和分母同时乘以找到的共轭表达式 |
| 4 | 展开并化简分子与分母，消去分母中的根号 |
| 5 | 最后得到一个分母不含根号的表达式 |
二、分子有理化例题
例题1：
题目：对表达式 $\frac{3}{\sqrt{5}}$ 进行分子有理化。
解法：
- 分母为 $\sqrt{5}$，其共轭为 $\sqrt{5}$
- 分子和分母同乘以 $\sqrt{5}$：
$$
\frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}
$$
结果：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
例题2：
题目：对表达式 $\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ 进行分子有理化。
解法：
- 分母为 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$，其共轭为 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$
- 分子和分母同乘以 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$：
$$
\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}
$$
$$
= \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3 - 2} = \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{1} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}
$$
结果：$2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$
例题3：
题目：对表达式 $\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ 进行分子有理化。
解法：
- 分母为 $\sqrt{7} - \sqrt{3}$，其共轭为 $\sqrt{7} + \sqrt{3}$
- 分子和分母同乘以 $\sqrt{7} + \sqrt{3}$：
$$
\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2}
$$
$$
= \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} + \sqrt{3}
$$
结果：$\sqrt{7} + \sqrt{3}$
三、总结
分子有理化是一种常见的代数技巧，主要目的是去除分母中的根号，使表达式更简洁、便于后续计算。其核心在于找到合适的共轭项，并将其与原式同乘，从而实现分母的有理化。掌握这一方法有助于提高代数运算的准确性和效率。
以上就是【分子有理化的步骤及例题】相关内容，希望对您有所帮助。
