【信号与系统第三版（第六章习题答案）】在《信号与系统》这门课程中，第六章通常涉及连续时间系统的频域分析，包括傅里叶变换、拉普拉斯变换以及系统的频率响应等内容。掌握这些知识点对于理解系统对不同频率信号的响应具有重要意义。为了帮助学习者更好地理解和巩固所学内容，以下是对该章节部分典型习题的详细解答与分析。
一、傅里叶变换相关问题
例题1：
已知信号 $ x(t) = e^{-at}u(t) $，其中 $ a > 0 $，求其傅里叶变换。
解：
根据傅里叶变换的定义：
$$
X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-j\omega t} dt
$$
合并指数项：
$$
X(j\omega) = \int_{0}^{\infty} e^{-(a + j\omega)t} dt = \left[ \frac{e^{-(a + j\omega)t}}{-(a + j\omega)} \right]_0^{\infty}
$$
计算极限：
$$
X(j\omega) = \frac{1}{a + j\omega}
$$
二、拉普拉斯变换与系统函数
例题2：
已知系统函数为 $ H(s) = \frac{1}{s + 2} $，求其对应的冲激响应 $ h(t) $。
解：
根据拉普拉斯逆变换的性质，$ H(s) = \frac{1}{s + 2} $ 对应的是：
$$
h(t) = e^{-2t} u(t)
$$
该结果表明系统是一个稳定的因果系统，其输出随时间呈指数衰减。
三、系统频率响应分析
例题3：
考虑一个线性时不变系统，其系统函数为 $ H(s) = \frac{s}{s^2 + 4s + 5} $，求其频率响应 $ H(j\omega) $，并判断其是否为低通、高通或带通系统。
解：
将 $ s = j\omega $ 代入系统函数中：
$$
H(j\omega) = \frac{j\omega}{(j\omega)^2 + 4j\omega + 5} = \frac{j\omega}{-\omega^2 + 4j\omega + 5}
$$
进一步整理分母：
$$
H(j\omega) = \frac{j\omega}{(5 - \omega^2) + j4\omega}
$$
从幅频特性来看，当 $ \omega = 0 $ 时，$ H(j0) = 0 $；当 $ \omega \to \infty $ 时，分子增长速度慢于分母，因此高频信号被衰减。结合极点位置（位于复平面上的共轭根），可以判断该系统为带通系统。
四、滤波器设计与系统稳定性
例题4：
给定一个系统函数 $ H(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 2} $，判断其是否稳定，并求其单位冲激响应。
解：
首先判断系统稳定性：极点为：
$$
s^2 + 2s + 2 = 0 \Rightarrow s = -1 \pm j1
$$
由于极点均位于左半平面，系统是稳定的。
单位冲激响应为：
$$
h(t) = e^{-t} \sin(t) u(t)
$$
该响应呈现出阻尼振荡的特征，符合稳定系统的特性。
五、总结与思考
第六章的学习重点在于理解如何通过频域分析来研究系统的性能。傅里叶变换和拉普拉斯变换是分析线性时不变系统的重要工具，而系统函数则是描述系统行为的核心表达方式。通过对本章习题的练习，不仅能够加深对理论知识的理解，还能提升实际应用能力。
建议在学习过程中多进行图形化分析（如绘制幅频特性曲线）和数值计算（如使用MATLAB或Python进行仿真），以增强对系统特性的直观认识。
提示：
以上答案仅为部分习题的参考解析，具体题目可能因教材版本或题目细节略有不同，建议结合教材内容进行综合复习。
