【《与三角形有关的线段》典型例题、习题精选】在初中数学中，三角形是几何学习的重要内容之一。而“与三角形有关的线段”则是理解三角形性质和相关定理的基础。本部分内容主要涉及三角形的边、高、中线、角平分线等基本线段的概念及其应用。通过典型例题与习题的练习，可以帮助学生更好地掌握这些知识点。
一、典型例题解析
1. 例题1：判断能否构成三角形
题目：已知三条线段的长度分别为3cm、4cm、5cm，能否组成一个三角形？
解析：
根据三角形的三边关系定理——任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
- 3 + 4 > 5 → 7 > 5，成立；
- 3 + 5 > 4 → 8 > 4，成立；
- 4 + 5 > 3 → 9 > 3，成立；
因此，这三条线段可以构成一个三角形。
2. 例题2：求三角形的中线长度
题目：已知△ABC中，AB = 6cm，AC = 8cm，D为BC的中点，求AD的长度（假设BC = 10cm）。
解析：
利用中线公式：
$$
AD^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}
$$
代入数据：
$$
AD^2 = \frac{2 \times 6^2 + 2 \times 8^2 - 10^2}{4} = \frac{2 \times 36 + 2 \times 64 - 100}{4} = \frac{72 + 128 - 100}{4} = \frac{100}{4} = 25
$$
所以，$ AD = \sqrt{25} = 5 $ cm。
3. 例题3：角平分线的应用
题目：在△ABC中，∠A = 60°，AD是角平分线，且BD = 4cm，DC = 6cm，求AB与AC的比值。
解析：
根据角平分线定理：角平分线将对边分成与两邻边成比例的两段。
即：
$$
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
$$
二、精选习题
1. 判断下列各组线段是否能组成三角形：
- (1) 5cm, 6cm, 10cm
- (2) 3cm, 4cm, 8cm
- (3) 7cm, 7cm, 14cm
2. 在△ABC中，D是BC的中点，若AB = 5cm，AC = 7cm，BC = 6cm，求AD的长度。
3. 已知△ABC中，∠B = 40°，∠C = 70°，AD是角平分线，且BD = 3cm，DC = 6cm，求AB与AC的比值。
4. 若一个三角形的三边分别为a、b、c，且满足 $ a + b = c $，则这个三角形是否存在？为什么？
5. 在△ABC中，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，交于点H。试说明H是△ABC的垂心。
三、总结
“与三角形有关的线段”是学习三角形性质的重要基础，掌握好中线、高、角平分线等概念，并能灵活运用相关定理，是解决复杂几何问题的关键。通过不断练习典型例题与精选习题，有助于提升学生的逻辑思维能力和解题技巧，为后续学习更复杂的几何知识打下坚实的基础。
