《二次函数图像》教学课件

一、课程目标

通过本节课的学习，学生将能够：

- 理解二次函数的基本概念与表达形式；

- 掌握二次函数图像的绘制方法；

- 分析二次函数图像的特征，如顶点、对称轴和开口方向；

- 能够根据实际问题建立二次函数模型并进行图像分析。

二、什么是二次函数？

定义

一般地，形如

y = ax² + bx + c（其中 a ≠ 0）

的函数叫做二次函数。

其中，a、b、c 是常数，且 a 不等于零。

特点

- 最高次数为2；

- 图像是一条抛物线；

- 抛物线具有对称性。

三、二次函数的标准形式与图像

1. 标准形式：y = ax² + bx + c

这是最常见的一种表达方式，也称为一般式。

2. 顶点式：y = a(x - h)² + k

- 其中 (h, k) 是抛物线的顶点；

- h 表示对称轴的位置；

- k 表示图像的最高点或最低点。

四、二次函数图像的绘制步骤

步骤一：确定开口方向

- 当 a > 0 时，抛物线开口向上；

- 当 a < 0 时，抛物线开口向下。

步骤二：求出对称轴

对称轴的公式为：

x = -b/(2a)

步骤三：求出顶点坐标

顶点坐标为：

(-b/(2a), f(-b/(2a)))

步骤四：找几个关键点

通常可以选择 x = 0、x = 对称轴左右各一点等，代入函数计算对应的 y 值。

步骤五：画出图像

连接这些点，形成一条平滑的抛物线。

五、图像的性质分析

| 性质 | 描述 |

|------|------|

| 开口方向 | 由 a 的正负决定 |

| 顶点 | 抛物线的最高点或最低点 |

| 对称轴 | 垂直于 x 轴的一条直线 |

| 与 y 轴交点 | 当 x=0 时，y = c |

| 与 x 轴交点 | 解方程 ax² + bx + c = 0 得到 |

六、实例分析

例题1：绘制 y = x² - 4x + 3 的图像

- a = 1 > 0 → 开口向上

- 对称轴：x = -(-4)/(2×1) = 2

- 顶点：(2, f(2)) = (2, -1)

- 与 y 轴交点：当 x=0，y=3

- 与 x 轴交点：解 x² - 4x + 3 = 0 → x = 1 或 x = 3

七、总结

- 二次函数的图像是一条抛物线；

- 图像的形状和位置由系数 a、b、c 决定；

- 通过分析图像的对称轴、顶点、开口方向等，可以更好地理解函数的变化趋势；

- 实际生活中很多现象都可以用二次函数来描述和建模。

八、课后练习

1. 绘制 y = -2x² + 4x + 1 的图像；

2. 求出函数 y = 3x² - 6x + 2 的顶点坐标；

3. 判断函数 y = -x² + 5x - 6 的开口方向和对称轴。

如需配套的PPT制作建议或动画设计思路，也可以继续告诉我！