在初中数学的学习中，一元二次方程是一个重要的知识点，它不仅是代数部分的核心内容之一，也是后续学习函数、几何等知识的基础。为了帮助同学们更好地掌握这一章节的知识点，我们特别整理了以下练习题及其详细解析。
一、基础知识回顾
在解一元二次方程之前，我们需要熟悉以下几个基本概念：
1. 定义：形如 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的方程称为一元二次方程，其中 \( a \neq 0 \)。
2. 求根公式：对于一般形式的一元二次方程，其解可以通过求根公式得到：
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
3. 判别式：\( \Delta = b^2 - 4ac \)，用于判断方程的根的情况：
- 当 \( \Delta > 0 \)，方程有两个不相等的实数根；
- 当 \( \Delta = 0 \)，方程有两个相等的实数根；
- 当 \( \Delta < 0 \)，方程没有实数根。
二、典型练习题
练习1
解方程：\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
解析：
- 首先确定系数：\( a = 1, b = -5, c = 6 \)。
- 计算判别式：\( \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \)。
- 因为 \( \Delta > 0 \)，所以方程有两个不相等的实数根。
- 使用求根公式：
\[
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}
\]
分别计算两个根：
\[
x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2
\]
- 最终解为：\( x_1 = 3, x_2 = 2 \)。
练习2
解方程：\( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \)
解析：
- 系数为：\( a = 2, b = 3, c = -2 \)。
- 判别式：
\[
\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25
\]
- 因为 \( \Delta > 0 \)，所以方程有两个不相等的实数根。
- 求根公式：
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}
\]
分别计算两个根：
\[
x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2
\]
- 最终解为：\( x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -2 \)。
三、拓展思考题
思考题1
已知方程 \( x^2 - kx + 9 = 0 \) 有两个相等的实数根，求参数 \( k \) 的值。
解析：
- 方程有两个相等的实数根意味着判别式 \( \Delta = 0 \)。
- 根据判别式的公式：
\[
\Delta = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = k^2 - 36
\]
令 \( \Delta = 0 \)，即：
\[
k^2 - 36 = 0 \implies k^2 = 36 \implies k = \pm 6
\]
- 参数 \( k \) 的值为：\( k = 6 \) 或 \( k = -6 \)。
思考题2
若方程 \( x^2 + px + q = 0 \) 的一个根是另一个根的两倍，且 \( p = 3 \)，求 \( q \) 的值。
解析：
- 设两根分别为 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，根据题意有 \( x_2 = 2x_1 \)。
- 根据韦达定理：
\[
x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q
\]
将 \( x_2 = 2x_1 \) 代入第一个方程：
\[
x_1 + 2x_1 = -3 \implies 3x_1 = -3 \implies x_1 = -1
\]
因此，\( x_2 = 2x_1 = 2 \cdot (-1) = -2 \)。
- 再利用韦达定理计算 \( q \)：
\[
q = x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot (-2) = 2
\]
- 参数 \( q \) 的值为：\( q = 2 \)。
四、总结
通过以上练习和思考题，我们可以看到，解决一元二次方程的关键在于熟练运用求根公式和判别式。同时，结合韦达定理和实际问题，可以进一步深化对一元二次方程的理解。
希望这些练习题能够帮助大家巩固知识点，并在考试中取得优异的成绩！
答案解析：
1. 练习1：\( x_1 = 3, x_2 = 2 \)
2. 练习2：\( x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -2 \)
3. 思考题1：\( k = 6 \) 或 \( k = -6 \)
4. 思考题2：\( q = 2 \)
