【高中数学选修21所有公式】在高中数学课程中，选修2-1是学生学习立体几何、圆锥曲线以及空间向量等内容的重要阶段。这一部分的内容不仅涉及几何图形的性质和变换，还引入了向量与坐标系相结合的分析方法，为后续的高等数学打下坚实基础。为了帮助学生更好地掌握本模块的核心知识，本文将系统整理并解析“高中数学选修2-1”中的主要公式，便于复习与应用。

一、常用公式汇总

1. 向量的基本运算

- 向量加法：

若向量 $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$，则

$$

\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)

$$

- 向量减法：

$$

\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)

$$

- 向量数乘：

$$

k\vec{a} = (kx_1, ky_1, kz_1)

$$

- 向量的模长：

$$

$$

- 向量点积（数量积）：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

$$

- 向量叉积（向量积）：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

x_1 & y_1 & z_1 \\

x_2 & y_2 & z_2 \\

\end{vmatrix}

= (y_1z_2 - z_1y_2)\mathbf{i} - (x_1z_2 - z_1x_2)\mathbf{j} + (x_1y_2 - y_1x_2)\mathbf{k}

$$

2. 空间直线与平面方程

- 直线的方向向量：设直线过点 $A(x_0, y_0, z_0)$，方向向量为 $\vec{v} = (a, b, c)$，则直线的参数方程为：

$$

\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}

$$

- 平面的一般式方程：若平面经过点 $P(x_0, y_0, z_0)$，且法向量为 $\vec{n} = (A, B, C)$，则平面方程为：

$$

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

$$

- 点到平面的距离：点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的距离为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

3. 圆锥曲线相关公式

（1）椭圆

- 标准方程（中心在原点）：

$$

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b)

$$

其中 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$，焦距为 $2c$

- 离心率：

$$

e = \frac{c}{a} < 1

$$

（2）双曲线

- 标准方程（中心在原点）：

$$

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

$$

其中 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$，焦距为 $2c$

- 离心率：

$$

e = \frac{c}{a} > 1

$$

（3）抛物线

- 标准方程（开口向上）：

$$

y^2 = 4px

$$

其中焦点为 $(p, 0)$，准线为 $x = -p$

二、典型例题解析

例题1：已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (2, -1, 1)$，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $\vec{a} \times \vec{b}$。

解：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 3 \times 1 = 2 - 2 + 3 = 3

$$

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 2 & 3 \\

2 & -1 & 1 \\

\end{vmatrix}

= (2 \times 1 - 3 \times (-1))\mathbf{i} - (1 \times 1 - 3 \times 2)\mathbf{j} + (1 \times (-1) - 2 \times 2)\mathbf{k}

= (2 + 3)\mathbf{i} - (1 - 6)\mathbf{j} + (-1 - 4)\mathbf{k}

= 5\mathbf{i} + 5\mathbf{j} -5\mathbf{k}

$$

即 $\vec{a} \times \vec{b} = (5, 5, -5)$

三、总结

高中数学选修2-1内容广泛，涵盖向量、空间几何、圆锥曲线等多个知识点。掌握其中的核心公式对于提升解题能力至关重要。通过不断练习和理解公式的推导过程，能够更灵活地运用这些知识解决实际问题，为今后的学习打下坚实的基础。

如需进一步了解某类题型或公式推导，欢迎继续提问！