【《高等代数》习题与参考答案】在数学的学习过程中，《高等代数》是一门基础而重要的课程，它不仅为后续的数学理论打下坚实的基础，也在工程、物理、计算机科学等多个领域中有着广泛的应用。为了帮助学生更好地掌握这门课程的核心内容，本文将围绕《高等代数》中的典型习题进行分析，并提供相应的参考解答，以供学习者参考与练习。
一、多项式理论
多项式是高等代数中的基本对象之一，涉及因式分解、根的性质、多项式除法等内容。以下是一个典型的题目：
题目：
设 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 $，试求其所有实根。
解答：
首先尝试用有理根定理寻找可能的根。可能的根为 $ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 $。
代入 $ x=1 $ 得：
$$
f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
$$
所以 $ x=1 $ 是一个根。
利用多项式除法或综合除法将 $ f(x) $ 除以 $ (x-1) $，得到：
$$
f(x) = (x-1)(x^2 - 5x + 6)
$$
继续分解二次多项式：
$$
x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)
$$
因此，$ f(x) $ 的全部实根为 $ x=1, 2, 3 $。
二、线性方程组与矩阵
线性方程组是高等代数的重要组成部分，通常通过矩阵形式进行研究。以下是一道关于矩阵秩的问题：
题目：
求矩阵
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 6 \\
3 & 6 & 9
\end{bmatrix}
$$
的秩。
解答：
观察矩阵 $ A $ 可以发现，第二行是第一行的两倍，第三行是第一行的三倍，因此矩阵的行向量之间存在线性相关关系。
将矩阵化为行阶梯形：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
可见矩阵的非零行仅有一行，因此矩阵的秩为 1。
三、特征值与特征向量
特征值和特征向量是理解线性变换本质的重要工具。以下是一道经典题目：
题目：
设矩阵
$$
B = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
$$
求其特征值与对应的特征向量。
解答：
特征方程为：
$$
\det(B - \lambda I) = \begin{vmatrix}
2 - \lambda & 1 \\
1 & 2 - \lambda
\end{vmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = 0
$$
解得：
$$
(2 - \lambda)^2 = 1 \Rightarrow 2 - \lambda = \pm1 \Rightarrow \lambda = 1 \text{ 或 } 3
$$
对于 $ \lambda = 1 $，解方程 $ (B - I)\mathbf{x} = 0 $：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
\end{bmatrix}
$$
得 $ x_1 = -x_2 $，故特征向量为 $ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $（任意非零倍数）。
同理，对于 $ \lambda = 3 $，特征向量为 $ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $。
四、总结
通过对《高等代数》中常见问题的分析与解答，可以看出该课程强调逻辑推理与代数运算能力。建议学习者在掌握基本概念的基础上，多做练习题，逐步提升解题技巧与数学思维能力。
本部分内容旨在为学习者提供参考与启发，如需进一步深入探讨某个知识点，可结合教材与参考资料进行系统学习。
