【(完整版)高中数学试题及答案】在高中阶段，数学作为一门基础学科，不仅在考试中占据重要地位，更是培养逻辑思维和解决问题能力的关键课程。为了帮助学生更好地掌握知识点、巩固学习成果，以下是一份完整的高中数学试题及参考答案，涵盖代数、几何、函数、概率与统计等多个方面，适合用于复习或自测。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 若集合 $ A = \{x \mid x^2 - 4x + 3 = 0\} $，则集合 $ A $ 的元素个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2. 函数 $ f(x) = \log_2(x-1) $ 的定义域是（ ）
A. $ (-\infty, 1) $
B. $ (1, +\infty) $
C. $ [1, +\infty) $
D. $ (0, +\infty) $
3. 已知向量 $ \vec{a} = (2, 3) $，$ \vec{b} = (1, -1) $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} $ 的值为（ ）
A. 5
B. 1
C. -1
D. -5
4. 在等差数列中，已知首项为 2，公差为 3，则第 6 项为（ ）
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
5. 若 $ \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $，且 $ \theta $ 在第二象限，则 $ \cos\theta $ 的值为（ ）
A. $ \frac{1}{2} $
B. $ -\frac{1}{2} $
C. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $
D. $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $
二、填空题（每空3分，共15分）
6. 不等式 $ 2x - 5 > 1 $ 的解集为 __________。
7. 若 $ \log_3 a = 2 $，则 $ a = $ __________。
8. 直线 $ y = 2x + 1 $ 的斜率为 __________。
9. 在三角形 ABC 中，若 $ \angle A = 60^\circ $，边 $ BC = 4 $，边 $ AC = 3 $，则 $ AB = $ __________。
10. 抛物线 $ y = x^2 - 4x + 5 $ 的顶点坐标为 __________。
三、解答题（共30分）
11. （本题8分）
解方程：
$$
\frac{x+1}{x-2} = \frac{3}{x}
$$
12. （本题8分）
已知函数 $ f(x) = x^2 - 2x + 3 $，求其最小值及对应的 $ x $ 值。
13. （本题7分）
在平面直角坐标系中，点 $ A(1, 2) $、$ B(3, 5) $、$ C(5, 2) $，判断三角形 ABC 是否为等腰三角形，并说明理由。
14. （本题7分）
某班有 50 名学生，其中 30 人喜欢数学，25 人喜欢语文，10 人两门都喜欢。问至少有多少人两门都不喜欢？
四、附加题（可选，共10分）
15. 设函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $，试证明：
$$
f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = 0
$$
参考答案：
一、选择题
1. C
2. B
3. B
4. A
5. B
二、填空题
6. $ (3, +\infty) $
7. 9
8. 2
9. $ \sqrt{7} $
10. $ (2, 1) $
三、解答题
11. 解得 $ x = 3 $
12. 最小值为 2，对应 $ x = 1 $
13. 是等腰三角形，因为 $ AB = AC = \sqrt{5} $
14. 至少 5 人两门都不喜欢
四、附加题
15. 证明略（利用函数性质即可）
这份试题涵盖了高中数学的多个核心知识点，难度适中，既可用于阶段性测试，也可作为日常练习材料。建议在做题时注重理解过程，避免死记硬背，提高综合运用能力。
