在高中数学的学习过程中，圆锥曲线是一个重要的章节，它不仅涵盖了丰富的几何知识，还与代数知识紧密结合。为了帮助同学们更好地掌握这一部分的内容，下面提供一些精选的练习题及其答案。
一、选择题
1. 已知椭圆的标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)），则该椭圆的长轴长度为：
A. \(a\)
B. \(b\)
C. \(2a\)
D. \(2b\)
答案：C
2. 双曲线 \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\) 的渐近线方程为：
A. \(y = \pm \frac{3}{2}x\)
B. \(y = \pm \frac{2}{3}x\)
C. \(y = \pm \frac{9}{4}x\)
D. \(y = \pm \frac{4}{9}x\)
答案：A
3. 抛物线 \(y^2 = 8x\) 的焦点坐标为：
A. \((2, 0)\)
B. \((-2, 0)\)
C. \((0, 2)\)
D. \((0, -2)\)
答案：A
二、填空题
4. 若椭圆的离心率为 \(\frac{1}{2}\)，且短半轴长为 \(3\)，则该椭圆的标准方程为_________。
答案：\(\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{9} = 1\) 或 \(\frac{y^2}{12} + \frac{x^2}{9} = 1\)
5. 已知双曲线的一条渐近线方程为 \(y = \frac{1}{2}x\)，且经过点 \((4, 2)\)，则该双曲线的标准方程为_________。
答案：\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1\)
三、解答题
6. 已知抛物线 \(y^2 = 4px\) 上一点 \(P(2, 4)\)，求抛物线的焦点坐标和准线方程。
解：
将点 \(P(2, 4)\) 代入抛物线方程 \(y^2 = 4px\)，得 \(4^2 = 4p \cdot 2\)，即 \(16 = 8p\)，解得 \(p = 2\)。
因此，抛物线的焦点坐标为 \((2, 0)\)，准线方程为 \(x = -2\)。
7. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\) 和直线 \(y = kx + 3\) 相交于两点，求实数 \(k\) 的取值范围。
解：
将直线方程代入椭圆方程，得到关于 \(x\) 的二次方程：
\[
\frac{x^2}{25} + \frac{(kx + 3)^2}{9} = 1
\]
化简后得到：
\[
(9 + 25k^2)x^2 + 150kx + 225 - 225 = 0
\]
即：
\[
(9 + 25k^2)x^2 + 150kx = 0
\]
要使直线与椭圆相交于两点，则判别式 \(\Delta > 0\)。计算判别式并解不等式可得 \(k\) 的取值范围。
通过以上练习题的训练，希望同学们能够更加熟练地掌握圆锥曲线的相关知识点。记住，理论结合实践是提高数学能力的关键！
