在高等代数的学习过程中，矩阵是一个非常重要的概念，而其中可逆矩阵更是核心内容之一。可逆矩阵，也被称为非奇异矩阵或满秩矩阵，是指那些存在一个与其相乘后得到单位矩阵的矩阵。理解并掌握可逆矩阵的相关性质与应用，对于深入学习线性代数具有重要意义。

接下来，我们通过几个典型习题来加深对可逆矩阵的理解：

例题一：判断矩阵是否可逆

设矩阵A = [3 4; 6 8]，判断该矩阵是否可逆，并给出理由。

解析：首先计算矩阵A的行列式值。若行列式的绝对值不为零，则矩阵可逆；反之则不可逆。这里，|A| = (38) - (46) = 0。因此，矩阵A不可逆。

例题二：求逆矩阵

给定矩阵B = [1 2; 3 4]，求其逆矩阵B^-1。

解析：利用公式B^-1 = (1/|B|) adj(B)，其中adj(B)表示B的伴随矩阵。先计算|B| = (14) - (23) = -2，然后求得adj(B)=[4 -2; -3 1]。最终得到B^-1=[-2 1; 1.5 -0.5]。

例题三：解决实际问题中的可逆矩阵

假设有一组线性方程组如下：

x + y = 5

2x + 3y = 13

请使用矩阵方法求解此方程组。

解析：将上述方程组转化为矩阵形式AX=B，其中A=[1 1; 2 3], X=[x; y], B=[5; 13]。由于det(A)≠0，所以A可逆。通过计算A^-1，我们可以得到X=A^-1B=[2; 3]，即x=2, y=3。

以上三个例子涵盖了从理论到实践的不同层次的应用场景，旨在帮助大家更好地理解和运用可逆矩阵的知识点。希望这些练习能够促进大家对该领域的进一步探索和掌握。