导数练习题及答案

在数学学习中，导数是一个非常重要的概念，它不仅在理论研究中有广泛的应用，也是解决实际问题的重要工具。为了帮助大家更好地掌握导数的相关知识，本文将提供一些精选的导数练习题，并附上详细的解答过程。

练习题

1. 求函数 $ f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 $ 的导数。

2. 已知 $ g(x) = \sin(2x) $，求其导数。

3. 计算 $ h(x) = e^{3x} $ 在 $ x = 0 $ 处的导数值。

4. 设 $ k(x) = \ln(x^2 + 1) $，求其导数。

5. 求函数 $ m(x) = \sqrt{x} $ 的导数。

答案解析

1. 对于 $ f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 $，利用幂函数的导数公式逐项求导：

$$

f'(x) = 3x^2 - 8x + 5

$$

2. 对于 $ g(x) = \sin(2x) $，使用链式法则：

$$

g'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)

$$

3. 对于 $ h(x) = e^{3x} $，利用指数函数的导数公式：

$$

h'(x) = 3e^{3x}

$$

将 $ x = 0 $ 代入得：

$$

h'(0) = 3e^0 = 3

$$

4. 对于 $ k(x) = \ln(x^2 + 1) $，使用对数函数的导数公式和链式法则：

$$

k'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}

$$

5. 对于 $ m(x) = \sqrt{x} $，将其改写为 $ m(x) = x^{1/2} $，然后求导：

$$

m'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

$$

通过以上练习题和答案解析，希望大家能够加深对导数的理解和应用能力。导数的学习需要不断的练习和总结，希望这些题目能为大家提供一定的帮助。