在数学的学习过程中，复数是一个非常重要的概念，它不仅在理论上有深远的意义，在实际应用中也有广泛的价值。为了帮助大家更好地掌握复数的相关知识，这里准备了一些练习题，并附有详细的解答过程。
练习题
题目一：
设复数 $ z = 3 + 4i $，求其共轭复数 $\overline{z}$ 和模长 $|z|$。
解答：
复数 $ z = 3 + 4i $ 的共轭复数是将虚部取反，因此：
$$
\overline{z} = 3 - 4i
$$
复数的模长公式为：
$$
|z| = \sqrt{\text{实部}^2 + \text{虚部}^2}
$$
代入数据得：
$$
|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$
题目二：
已知两个复数 $ z_1 = 2 + i $ 和 $ z_2 = 1 - 3i $，计算它们的和与积。
解答：
复数的加法法则为对应部分相加：
$$
z_1 + z_2 = (2 + i) + (1 - 3i) = (2 + 1) + (1 - 3)i = 3 - 2i
$$
复数的乘法法则为：
$$
z_1 \cdot z_2 = (2 + i)(1 - 3i)
$$
展开后计算：
$$
z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-3i) + i \cdot 1 + i \cdot (-3i)
$$
$$
= 2 - 6i + i - 3i^2
$$
注意到 $ i^2 = -1 $，所以：
$$
z_1 \cdot z_2 = 2 - 6i + i + 3 = 5 - 5i
$$
题目三：
若复数 $ z = a + bi $ 满足 $ |z| = 5 $ 且 $ \overline{z} = 3 - 4i $，求 $ a $ 和 $ b $。
解答：
根据题意，$ \overline{z} = 3 - 4i $，则原复数 $ z = 3 + 4i $。由此可知：
$$
a = 3, \quad b = 4
$$
验证模长条件：
$$
|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$
满足题目条件。
总结
通过以上几道练习题，我们可以看到复数的基本运算包括加法、减法、乘法以及求共轭复数和模长等。这些基础知识是进一步学习复数相关高级内容的基础。希望大家通过练习能够熟练掌握这些技能！
希望这些练习题能对你的学习有所帮助！如果还有其他问题或需要更多练习，请随时提问。
