求函数值域练习附问题详解

在数学的学习过程中，函数值域是一个重要的概念，它描述了函数输出的所有可能取值范围。掌握如何求解函数值域不仅能够帮助我们更好地理解函数的本质，还能为解决更复杂的数学问题打下坚实的基础。本文将通过一系列练习题和详细的解答过程，帮助读者逐步提升这一技能。

练习题一：基础题型

题目：已知函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $，求其值域。

解答：

1. 首先，观察该函数为二次函数，其图像是开口向上的抛物线。

2. 将函数配方：$ f(x) = (x-2)^2 - 1 $。

3. 根据配方结果，可知当 $ x = 2 $ 时，函数取得最小值 $-1$。

4. 因此，函数的值域为 $[-1, +\infty)$。

练习题二：分式函数

题目：已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} $，求其值域。

解答：

1. 分析分母 $ x^2 + 1 > 0 $ 恒成立，因此函数定义域为全体实数。

2. 注意到分母越大，函数值越小，且 $ g(x) > 0 $。

3. 当 $ x \to \pm\infty $ 时，$ g(x) \to 0 $；当 $ x = 0 $ 时，$ g(0) = 1 $。

4. 综上所述，函数的值域为 $(0, 1]$。

练习题三：复合函数

题目：已知函数 $ h(x) = \sqrt{x^2 - 4} $，求其值域。

解答：

1. 确定函数的定义域：由 $ x^2 - 4 \geq 0 $，可得 $ x \leq -2 $ 或 $ x \geq 2 $。

2. 分析函数的性质：函数为偶函数，且在 $[2, +\infty)$ 上单调递增。

3. 计算边界值：当 $ x = 2 $ 时，$ h(2) = 0 $；当 $ x \to +\infty $ 时，$ h(x) \to +\infty $。

4. 因此，函数的值域为 $[0, +\infty)$。

通过以上三道练习题及其详细解答，我们可以看到，求解函数值域需要结合函数的性质、图像特征以及代数运算技巧。希望这些练习能帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

如果您在学习中遇到其他问题，欢迎随时提问！

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