在概率论和统计学中，累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）是一个非常重要的概念。它描述了一个随机变量取值小于或等于某个特定值的概率。换句话说，累积分布函数给出了随机变量的分布特性。

假设我们有一个随机变量X，其累积分布函数记作F(x)。对于任何实数x，F(x)定义为：

\[ F(x) = P(X \leq x) \]

这里，P表示概率。因此，累积分布函数F(x)实际上就是随机变量X小于或等于x的概率。

累积分布函数的一些基本性质包括：

1. 非递减性：随着x的增加，F(x)不会减少。也就是说，如果 \( x_1 < x_2 \)，那么 \( F(x_1) \leq F(x_2) \)。

2. 右连续性：累积分布函数是右连续的，即 \(\lim_{x \to c^+} F(x) = F(c)\)。

3. 边界条件：当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1。即：

\[ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 \]

\[ \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 \]

累积分布函数的一个重要应用是在计算概率时。例如，如果我们想计算随机变量X落在区间[a, b]内的概率，可以使用累积分布函数来表示：

\[ P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) \]

此外，在实际应用中，累积分布函数还用于描述数据的分布情况。通过绘制累积分布函数图，我们可以直观地了解数据的集中趋势和离散程度。

总之，累积分布函数是理解随机变量分布特性的基础工具，广泛应用于统计分析、信号处理以及机器学习等领域。通过掌握累积分布函数的概念及其性质，可以帮助我们更好地理解和解决各种概率问题。