在数学分析中，导数的应用不仅限于函数单调性研究和极值点的确定，它同样可以作为工具来解决一些复杂的不等式问题。本文将通过一个具体的例子展示如何利用导数的性质结合放缩法来证明一个不等式。

考虑如下不等式：

\[ e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}, \quad \forall x > 0 \]

我们希望通过导数的方法验证此不等式的正确性。首先定义函数

\[ f(x) = e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2}) \]

目标是证明当 \( x > 0 \) 时，\( f(x) > 0 \).

第一步：计算导数

对 \( f(x) \) 求导得到

\[ f'(x) = e^x - (1 + x). \]

进一步求二阶导数：

\[ f''(x) = e^x - 1. \]

注意到当 \( x > 0 \), \( e^x > 1 \)，因此 \( f''(x) > 0 \) 对所有 \( x > 0 \) 成立。这意味着 \( f'(x) \) 在 \( x > 0 \) 上是严格递增的。

第二步：分析 \( f'(x) \)

由于 \( f'(x) \) 在 \( x > 0 \) 上递增，并且 \( f'(0) = e^0 - (1 + 0) = 0 \)，所以对于任意 \( x > 0 \)，都有 \( f'(x) > 0 \)。这表明 \( f(x) \) 在 \( x > 0 \) 上也是严格递增的。

第三步：初始条件

考察 \( f(0) \):

\[ f(0) = e^0 - (1 + 0 + \frac{0^2}{2}) = 1 - 1 = 0. \]

结合上述结论，因为 \( f(x) \) 在 \( x > 0 \) 上严格递增且 \( f(0) = 0 \)，我们可以得出结论：

\[ f(x) > 0, \quad \forall x > 0. \]

因此，原不等式 \( e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2} \) 对所有 \( x > 0 \) 成立。

通过这个例子可以看出，使用导数结合放缩法是一种有效解决某些类型不等式的方法。这种方法的关键在于合理构造函数并利用其导数的性质来推导出所需的结果。