在数学和物理领域，向量是一个非常重要的概念。它不仅用于描述空间中的方向和大小，还广泛应用于工程、计算机科学等多个学科。为了帮助大家更好地理解和应用向量的相关知识，这里整理了一份向量公式大全。

一、基本定义与符号

1. 向量表示：通常用带有箭头的字母（如 \(\vec{v}\)）或黑体字母（如 \(\mathbf{v}\)）来表示向量。

2. 向量分量：若向量 \(\vec{v}\) 在三维空间中，则可以表示为 \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\)，其中 \(v_x, v_y, v_z\) 分别是其在 x、y、z 轴上的投影。

二、向量运算

1. 加法与减法

- 加法：\(\vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z)\)

- 减法：\(\vec{u} - \vec{v} = (u_x - v_x, u_y - v_y, u_z - v_z)\)

2. 数乘

- \(k\vec{v} = (kv_x, kv_y, kv_z)\)，其中 \(k\) 是标量。

3. 点积（内积）

- 定义：\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_xv_x + u_yv_y + u_zv_z\)

- 几何意义：\(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\)，其中 \(\theta\) 是两向量之间的夹角。

4. 叉积（外积）

- 定义：\(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

u_x & u_y & u_z \\

v_x & v_y & v_z

\end{vmatrix}\)

- 结果是一个新的向量，垂直于原两向量所在的平面。

三、向量性质

1. 模长

- 向量的模长公式：\(|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\)

2. 单位向量

- 单位向量：\(\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\)

3. 平行与垂直

- 平行条件：\(\vec{u} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} = k\vec{v}\)，其中 \(k\) 为常数。

- 垂直条件：\(\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)

四、向量的应用

1. 几何应用

- 判断两条直线是否平行或垂直。

- 计算三角形面积：\(\text{Area} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|\)

2. 物理应用

- 力的分解与合成。

- 速度和加速度的计算。

以上就是向量公式大全的基本内容。希望这份资料能为大家的学习和工作提供帮助。掌握这些基础知识后，可以进一步深入研究更复杂的向量理论及其实际应用。